Los problemas judíos (matemáticas para la xenofobia)

Hace unos días, a través de Twitter, me llegó una historia de xenofobia cargada de interesantes problemas matemáticos. Os la traigo a mi blog, por su valor histórico, no hay que ignorar este tipo de cosas, y también por la belleza de las matemáticas implicadas en ella.

Se trata de una colección de problemas que el Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú  proponía a los aspirantes judíos a dicha Universidad, para evitar que éstos u otros grupos de personas "indeseables" accedieran. Para evitar reclamaciones y/o impugnaciones al proceso, todos estos problemas tiene una solución muy sencilla pero difícil de encontrar. Estos problemas son conocidos también, por si queréis buscar sobre ellos,  con los intuitivos nombres de 'Гробы' (ataúdes) o en inglés, como 'killers' (asesinos).

Si intentáis resolver actualmente algunos de estos problemas, puede que no os resulten tan complicados, pero hace 30 años, las cosas eran diferentes y los conocimientos menores. También hay que decir que el procedimiento para estos aspirantes era ir resolviendo un problema tras otro hasta fallar en alguno, momento en el que eran eliminados, con lo que las condiciones de contorno eran peores que las que tenemos nosotros en casa si lo intentamos por el puro gusto de resolver un reto matemático.

Para muestra, un botón, como dicen, elijamos uno sencillito, que podamos intentar todos:

O sea, ¿eres capaz de dibujar 6 puntos en el plano, de forma que la distancia entre cualquier par de ellos sea un número entero, y no haya tres alineados? 

Venga, va, os doy una pista, que es muy fácil. 

Un triángulo rectángulo verifica esa  propiedad, por ejemplo, de lados 3, 4 y 5, si hacemos alguna reflexión del mismo, podríamos generar más puntos...

¿Ya? ¿Te rindes?

A ver. Si tenemos un triángulo rectángulo ABC de lados enteros, el área del mismo es un número racional. Por lo tanto, si consideramos la altura sobre el lado AC, la longitud de dicha altura debe ser también racional. Llamemos D al pie de dicha altura.

Si consideramos el simétrico de B respecto del lado AC, llamémosle E, tendremos cuatro puntos, A, B, C y E, todos a distancia racional unos de otros.

Ya tenemos 4 puntos a distancias racionales, pero tienen que ser 6 y a distancia entera, no lo olvidemos. 

Por otra parte, el triángulo ABC  es semejante al triángulo BDC, lo que implica que tanto el segmento AD como el segmento CD tienen que ser racionales. Si consideramos ahora los simétricos de B y E respecto de la mediatriz entre A y C, tenemos dos nuevos puntos, F y G.  Pues bien, ya tenemos 6 puntos, A, B, C, E, F y G, todos a distancias racionales unos de otros.

Para que las distancias sean enteras, como se nos pedía, basta con multiplicar por el número adecuado para eliminar todos los denominadores. 

Si empezamos con el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, con la hipotenusa sobre el eje de abcisas y centrada en el origen de coordenadas, basta con cambiar la escala, multiplicando por 10, la construcción anteriormente descrita, para tener la solución.

Hay muchos más problemas judíos, coffins o killers. Si queréis ver más os recomiendo este trabajo de Khovanova y Radul que fue el que me descubrió la existencia de los mismos.  


Pero lo verdaderamente terrible de esta historia es el trasfondo humano.


Esta página de la misma Tanya Khovanova aporta enlaces a documentos sobre este espisodio.

Sobre este mismo asunto, se ha publicado el libro Your failed your math test, Comrade Einstein: adventures y misadventures of young mathematicians en el que  el matemático Ilan Vardi presenta y compara los problemas mencionados en esta entrada con los de la Olimpiada Matemática del año 2000. Incluye además un ensayo "El genocidio intelectual" explicando el trasfondo histórico de esta práctica llevada a cabo en la URSS en las décadas de los 70 y 80.

Esta historia también tiene su heroína, Беллу Суббатовскую Светлана (Bella Abramovna Subbotovskaya), que ante esta situación de injusticia con los judíos fundó con ayuda de otros colegas la Universidad del Pueblo Judío (Еврейский народный университет) y que murió, de forma extraña cuando sólo tenía 44 años. 

George G. Szpiro, escribió en este artículo sobre ella: "Bella Abramovna Subbotovskaya and the Jewish People Unniversity":

"Exactly 25 years ago, on September 23, 1982, at

about 11 o’clock at night, an accident occurred in

a dark street in Moscow. A woman walked along

the sidewalk. She had just visited her mother and

was on her way home. It was a quiet street, hardly

a vehicle passed by at this hour. Suddenly a truck

appeared at high speed, hit the woman, and drove

off. Moments later another car drove up, stopped

for a moment next to the victim, and also drove

off. An ambulance came—who had called it?—and

took the victim straight to the morgue. The funeral

took place the next day. It was a very low key af-

fair, nobody talked, no eulogy was held. Mourners

only whispered among themselves, all the while

observed by a few official-looking men. Eventu-

ally everybody quietly dispersed. The hit-and-run

driver was never found, and the case was closed.

The accident had all the trappings of a KGB hit.

The victim was the 44-year old mathematician Bella

Abramovna Subbotovskaya. In the days preceding

her death she had been summoned several times

for interrogations to KGB offices. The “crime”

about which she was questioned was the organiza-

tion of a “Jewish People’s University”.

Me temo que ha quedado triste y lúgubre el final de esta entrada, pero esta es la historia, hasta donde yo sé.

Con esta entrada participo en la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas que este mes se aloja en La aventura de la Ciencia