jueves, 22 de septiembre de 2011

Si Euclides hubiese conocido Manhattan...





Si Euclides hubiese conocido Manhattan, no diríamos que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta. Puesto que si  estamos pensando en diseñar una ruta que una dos puntos dentro de la Gran Manzana (o cualquier ciudad), la distancia real no siempre es la medida del segmento que une a esos puntos, puesto que en la mayoría de los casos, ese segmento atravesará algún rascacielos. Y eso no está bonito, no. 

Figura 1
En la Geometría Euclideana, que es la geometría que todos aprendemos desde nuestros primeros años de estudios, la distancia entre dos puntos se mide como la longitud del segmento que los une, o dicho de otra forma, como el módulo del vector que esos dos puntos definen. Esa forma de medir la distancia es conocida como distancia euclídea y es la que usamos cuando medimos usando un metro entre los dos extremos de lo que queremos medir. En realidad, se trata de una consecuencia del Teorema de Pitágoras. Si tenemos dos puntos en el plano de coordenadas (a,b) y (c,d) respectivamente y queremos calcular la distancia euclídea entre ellos, basta con fijarse que la longitud de los catetos del triángulo rectángulo que definen son (c-a) la de uno y (d-b) la del otro.  Entonces, por el Teorema de Pitágoras, sabemos que la distancia euclídea se mide como

 √(c-a)2+(d-b)2.

Ahí todo está bien y correcto, pero esa no es la única forma de medir la distancia entre dos puntos en el plano. Existe otra distancia, conocida como Distancia de Manhattan o Distancia 
L1
, que mediría la distancia entre los puntos de la Figura 1 como 

 (c-a) + (d-b)

Es decir, la suma de las longitudes de los dos catetos del triángulo rectángulo. O bien, la de cualquier ruta que una al punto (a,b)  con el punto (c,d) a través de segmentos horizontales y verticales, en otras palabras, la longitud de cualquier escalera que suba desde (a,b)  con el punto (c,d) 

En verde, la distancia euclídea, y en rojo, azul y amarillo, la distancia Manhattan. (Imagen  sacada de aquí)

Pues bien, cuando se trata de diseñar rutas de recorrido mínimos en ciudades, tiene más sentido usar esta distancia que la Euclídea, por lo de no atravesar rascacielos que habíamos dicho. Es más, puesto que todas las 'escaleras' tienen la misma longitud, nos permite elegir entre distintas opciones, en función de semáforos, zonas de dudosas seguridad, etc...




Evidentemente, no todas las ciudades, ni siquiera Nueva York, están distribuidas como una cuadrícula, pero se considera para según qué problemas de dieños de rutas este tipo de distancia. Y también, cómo no, en el diseño de circuitos ortogonales en los que predominan la conexiones en vertical y horizontal, o en el de un plano de metro.

Otra cosa que no diríamos si pensáramos con la distancia de Manhattan es “No había nadie en 10 Km a la redonda” Porque cuando utilizamos esta expresión, estamos intrínsecamente midiendo con la distancia euclídea. Con esta distancia, la que usamos habitualmente en el día a día, los puntos que están a menos distancia de 10 Km de nosotros, son aquellos que están contenidos en un círculo alrededor nuestra de radio 10 Km.

Pero si pensáramos con la distancia de Manhattan, no sería un círculo, sino ¡un rombo!





Todos los puntos de la frontera del círculo de la izquierda están a la misma distancia euclídea del origen de coordenadas, y todos los puntos de la frontera del rombo de la izquierda están a la misma distancia L1 del origen de coordenas, como se explica en la siguiente figura:





El punto verde y el punto rojo están a la misma distancia del punto azul (nótese que el ángulo formado por el rombo y el eje en el punto verde es de 45º y, por lo tanto, la longitud de los dos catetos del triángulo rectángulo formado es la misma, está representada con en la Figura) Y en general, cualquier punto de la frontera del rombo está a la misma distancia del origen (punto azul).

Ahora vamos a ver, que  dependiendo de la distancia elegida, el punto más cercano a uno dado puede ser distinto, lo que sería de utilidad conocer a la hora de diseñar rutas de longitud mínima, por ejemplo, para empresas de distribución, mensajería...

Si usamos la euclídea (la usual) el punto rojo está más cerca del origen (en azul) mientras que si usamos la de Manhattan el origen esá más cerca del punto verde. 




Pues bien, ahora que ya conocemos la distancia Manhattan, os formulo una pregunta. Si tenemos dos puntos sobre el plano, P y Q, los puntos que están a la mitad de camino entre P y Q, a la misma distancia de ambos, definen una recta que conocemos, como mediatriz.

¿Y si usamos la distancia L1,? ¿Qué aspecto tiene la mediatriz entre P y Q

Vamos a verlo. Construimos el rectángulo definido por P y Q




Como la distancia de P a Q es (a+b), los puntos sobre la mediatriz PQ, son los que están a distancia (a+b)/2 de cualquiera de ellos, por ejemplo, R y S




Pero también estarán en la mediatriz PQ todos los puntos del segmento RS, vamos a verlo en la figura siguiente con el punto T



En la figura se ve que d(P,S)=d(P,T)= (a+b)/2 (d(P,S) es la forma de escribir "distancia de P a S") y que la d(Q,R)=d(Q,T)=(a+b)/2 y, por lo tanto, T está en la meditariz PQ. Igualmente, se podría razonar con cualquier punto del segmento RS.

Pues bien, para terminar la mediatriz, sólo hay que añadir las demirrectas verticales que parten, respectivamente, de R y de S







obteniendo la siguiente poligonal que divide al plano en dos semiplanos, los que están más cerca de P que de Q y viceversa.




No me negaréis que quedarían más monas las lindes de las parcelas con este tipo de mediatrices, ¿no?.

Eso sí, puede que la distancia Manhattan sea más práctica y refleje mejor la realidad en el diseño y optimización de rutas de distribución, pero mi experiencia como madre me permite asegurar que cuando somos niños es la distancia eulcídea la que 'traemos' instalada: "De aquí para acá, mío, de aquí para allá, tuyo"

PS: Cuando explico esta distancia a mis estudiantes no puedo resistir la tentación de llamarla Distancia del Ensanche, y es que Barcelona es mi debilidad.






Con esta entrada participo en la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas que este mes se aloja en La vaca esférica




7 comentarios:

  1. Había leído algo sobre la Distancia de Manhattan en un libro de Martin Gardner, solo que allí hablaban de la Geometría del taxi. Lo recordaba como una mera curiosidad, un ¿qué pasaría si...? y no como algo de aplicación en la vida real.

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  2. Bien, muy buen artículo, pero....
    Lo siento, no me queda más remedio que decir que es totalmente falso, porque tendrías que haber venido a Málaga, y así tendríamos una referencia para poder opinar. Aquí la distancia más corta entre un sitio y otro, no es ni el valor del segmento, ni el de la mediatriz, ni tan siquiera la suma de todos los cuadrados de todos los catetos del mundo.
    Tendrías que haber sumado los sitios que están de obras (del metro y demás tonterías), los sitios que también están de obras (más tonterías), y además de eso, los sitios que porque los vecinos no le hemos permitido al alcalde hacer obras para sus aparcamientos, en venganza, nos los ha llenado de carriles bici, inservibles, y que nadie utiliza.
    Resultado, pues quien se atreva, que lo calcule.
    Bueno, y dicho todo esto, gracias por tu artículo, que me ha gustado mucho, y gracias por darme pie a desahogarme un poco. Supongo que no hay que explicar que todo esto que digo es en plan irónico, o como lo quieras llamar, pero tampoco es ninguna mentira.
    Por cierto, si Euclides hubiera conocido Manhattan, estoy seguro que habria pensado algo así como: " Lo sabía, el paraiso existe".
    Saludos.

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  3. @Trablete

    Efectivamente, se llama también Geometría del taxi http://es.wikipedia.org/wiki/Geometria_taxicab

    Espero que te hayan gustado la aplicaciones reales :)

    Gracias por el comentario.

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  4. @Rojo Merlin

    Si Euclides hubiese conocido Málaga se hubiera 'jartao' de espetos en el Pedregalejo :)

    Muchas gracias por el comentario, me alegro mucho de que te haya gustado y siento mucho lo de las obras ;)

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  5. Yo intento entender argo... pero oiga, no hay forma.... jijijiji

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  6. Excelente entrada, yo que no dispongo de una fascinación por las matemáticas como tal vez lo hacen ustedes. me he leído el contenido hasta el final porque estaba muy atrayente.
    jeje... gracias y excelente aporte, me sirvió mucho para un trabajo que tengo pendiente.

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  7. por fin una explicación sencilla de la mediatriz ... gracias

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